ピタゴラスの定理

一辺が素数、残る一辺が自然数、斜辺が自然数

の直角三角形について

それぞれ

p、n、mとすると

p^2+n^2=m^2より

p^2=m^2-n^2=(m+n)(m-n)

つまりm-n=1、m+n=p^2であるそれゆえ

(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(11,60,61),(13,84,85)

などなど

ｇ直角三角形で

一辺が素数の場合これらしかない

私の本の第７０項目です,

ρ=e^(2πi/(p-1))とするｐによって計算が異なるので

ｐ＝７とする

ζ_ρ(s)=1+ρ^2×1/2^s+ρ×1/3^s+ρ^4×1/4^s+ρ^5×1/5^s+ρ^3×1/6^s+…

1/ζ_ρ(s)=1+μ(2)×ρ^2×1/2^s+μ(3)×ρ×1/3^s+μ(4)×ρ^4×1/4^s
　
　+μ(5)×ρ^5×1/5^s+μ(6)×ρ^3×1/6^s+…

で良いようです

なにかかんちがいして暴走しましたね

この前の１０個ぐらいのエントリーは間違いです

いつもこんな感じなんで修正はしません

この項もあってるか正直自信ないので

導手３で

χ(1)=1,χ(2)=-1,χ(3)=0

とすると

ディリクレ指標の条件を満たす

一方、導手５としよう

χ(1)=1,χ(2)=e^(2πi/4)=ρ

として計算すると

χ(4)=ρ^2,χ(3)=ρ^3

ここまでは良いが

χ(1)=ρ^4=1となる

この場合ありえるね

勘違いしてた

７の剰余群

(1,2,3,4,5,6)は巡回群をなす

部分群は

(1,2,3,4,5,6)

(1,6)

(1,2,4)

の３つのみ

(1.2,4)

が指標(1,1,1)しか取らないため

私の計算では

２通り

自然な指標と平方剰余の指標しか持たない

と…思う

うまく説明できない

７とか１１とかの導手のディリクレ指標は２通りしかない

７を例に説明する

まず自明な指標

７だったら

1,1,1,1,1,1,0

平方剰余

７だったら

1,1,-1,1,-1,-1,0

(7-1)/2=3

が素数ゆえ

１番目、２番目、４番目が

2^3=8=1+7,2^1=2,2^2=4

つまり巡回群をなす

指標の半分が１ということは

残りは全てー１ということである

この２通りしかない

追記：１５は違うようなので

素数の導手であることも使うべき

このエントリーは不完全です
 
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