ζ_3(s):=1/1^s+1/2^s+1/4^s+1/5^s+1/7^s+…

などのように特殊な形のゼータを計算する

p番目、2p番目などは0、それ以外は１というもので

これも前の記事と同様にできる場合である

追記：

以前Arxiv.orgとVixra.orgにあった論文に

RHとGRHの関係を扱ったものが多くあった気がします

多分ちょっとやった感じから言って

ここは（GRHね）簡単なんでしょうね

M(m),M_2(m),M_3(m)を任意のmに対して

一個前の記事のごとくに定義する

M_2(m)～M_3(m)+M_3([m/2])+M_3([m/4])+…

と書こう。ここでガウス記号[]を使った。

～M(m)+M([m/2])+M([m/4])+…

=O(√m×log(m))を得る

これで

M(m)=O(√m×log(m))が示されれば

導手２のゼータはGRHの証明用件を満たす、と

まあこれでいいとはちっとも思いませんが

追記：

ちょと修正

M(m)+M([m/2])+M([m/4])+…はlog_2(m)項程度

の項数で出来ています

1+μ(2)+μ(3)+…+μ(m)=M(m)

と書いたとすると

1+μ(3)+μ(5)+…+μ(m)=M_2(m)（mは奇数とする）

と書いたとき

M_2(m)+μ(2)×(M_2((m-1)/2))=M(m)

である

これで

M_3(m)=(M_2(m)の後半部分)とすると

M(m)=M_3(m)を得る。なにかまちがってるかなあ

後悔しながら発表中

1+1/3^s+1/5^s+1/7^s+1/9^s+…が導手２のディリクレ指標

のゼータ関数です。特にこの場合これしかありません

これをζ_2(s)と書くとき

1/ζ_2(s)=1+μ(3)/3^s+μ(5)/5^s+μ(7)/7^s+μ(9)/9^s+…

である、と

ここまでは大丈夫ここからを導けないならば

一般化されたリーマン予想（導手２）

はただしいであろうから、なにか私が勘違いしている

昔の記録からの書き起こし

となります

メモとして

M(x):=Σμ(n)（n<x）と定義する

1/ζ(s)=∫x^(-s)d(M(x))

とかけます

ここでd(M(x))はスティルチェス積分

1/ζ(s)=Σμ(n)/n^s

から積分に書き換えたものです

ここで部分積分により

1/ζ(s)=[M(x)x^(-s)]+s∫M(x)x^(-s-1)dx

=0-1+s∫M(x)x^(-s-1)dx

∫M(x)x^(-s-1)dxはM(x)がx^1/2以下のオーダー

ならばRe(s)=1/2以外で発散（する可能性有り）で

x^(1/2+epsilon)以上のオーダーだとRe(s)=1/2以外で収束します

つまりζ(s)のゼロ点はRe(s)=1/2にあります